วันพุธที่ 30 กันยายน พ.ศ. 2563

พื้นที่รูปเรขาคณิต

 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น รูปสามเหลี่ยมปรกติ

                                                                Triangle.Equilateral.svg

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ  หน่วย จะมีส่วนสูง (altitude) เท่ากับ  หน่วย และมีพื้นที่เท่ากับ  ตารางหน่วย

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

                                              Six Quadrilaterals.svg

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น  และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น [3]

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น  เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) [4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้

เมื่อ abcd คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง 

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม [5]

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ 

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° [6]

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

รูปห้าเหลี่ยม

รูปห้าเหลี่ยม (อังกฤษpentagon) คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ด้าน

รูปห้าเหลี่ยมปกติที่ด้านแต่ละด้านยาว a จะมีพื้นที่เท่ากับ 


รูปดาวห้าแฉก
 (pentagram) สามารถสร้างจากรูปห้าเหลี่ยมปกติได้ โดยการลากเส้นตามเส้นทแยงมุม และรูปนี้จะมีความยาวที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง, φ = (1+√5)/
2

                                Regular polygon 5.svg

รูปห้าเหลี่ยมปกติ (regular pentagon) คือ รูปห้าเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน (540° คือมุมภายในของรูป)

รูปหกเหลี่ยม

ตามทฤษดีเเล้วในทางเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยม หมายถึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบหนึ่ง ที่มีด้าน 6 ด้าน และจุดยอด 6 จุด สัญลักษณ์ชเลฟลี (Schläfli symbol) คือ {6}

มุมภายในของหกเหลี่ยมปกติ หรือหกเหลี่ยมด้านเท่า (มีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน และขนาดมุมเท่ากันทุกมุม) เท่ากับ 120 ° รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าก็เหมือนกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่สามารถวางเรียงในแนวระนาบต่อกันไปโดยไม่มีช่องว่าง (รูปหกเหลี่ยม 3 รูปจะบรรจบกัน (หกเหลี่ยม 3 รูปสามบรรจบกัน 3 มุมยอด) และมีประโยชน์มากสำหรับการสร้าง เทสเซลเลชัน (การวางรูปซ้ำ ๆ ต่อกันจนเต็มพื้นที่ โดยไม่ซ้อนทับ หรือมีช่องว่าง)

ช่องรังผึ้งช่องหนึ่งเป็นรูปหกเหลี่ยมด้วยเหตุผลดังกล่าวนี้ และเนื่องจากรูปทรงนี้ทำให้สามารถใช้วัสดุการสร้างและพื้นที่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ สำหรับ Voronoi diagram ของตาข่ายสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นเทสเซลเลชั่นรังผึ้งของหกเหลี่ยมนั่นเอง

พื้นที่ของหกเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีความยาวด้าน  มีค่า

เส้นรอบรูป หรือความยาวรอบรูปหกเหลี่ยม ที่มีความยาวด้านละ  หน่วย มีค่าเท่ากับ  และมีเส้นผ่าศูนย์กลางยาวสุด  เส้นผ่าศูนย์กลางสั้นสุด 

                            Regular polygon 6.svg



ขอขอบคุณ https://th.wikipedia.org/wiki/


ปริซึม

 การหาปริมาตรของปริซึม สามารถหาได้จากสูตรต่อไปนี้

ปริมาตรของปริซึมใดๆ  พื้นที่ฐาน × สูง

มาดูตัวอย่างการหาปริมาตรกันเลยครับ ง่ายมากเลยครับ

แบบฝึกหัด 1.2 ก

1. จงหาปริมาตรของปริซึมต่อไปนี้ (ความยาวที่กำหนดให้มีหน่วยเป็นเซนติเมตร)

1)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=(312×4)×6

=84  ลูกบาศก์เซนติเมตร

2)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=[12×16×(12+4)]×12

=1,536  ลูกบาศก์เซนติเมตร

3)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=(12×3.3×1.1)×3

=5,445 ลูกบาศก์เซนติเมตร

4)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=[(14×8)+(12×14×5)]×20

=2,940  ลูกบาศก์เซนติเมตร

5)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=[(7×12)+(12×4×5)]×10

=940 ลูกบาศก์เซนติเมตร

6)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=[(4×612)+(7×312)+(4×612)]×612

=(26+24.5+26)×132

=497.25   ลูกบาศก์เซนติเมตร

7)

แนวคิด

ปริมาตรของปริซึม =  พื้นที่ฐาน × สูง

=101.4×11.4

=1,155.96       ลูกบาศก์เซนติเมตร


2. ปีบน้ำมันพืชทรงสี่เหลี่ยมใบหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 30 ปีบสูง 55 เซนติเมตร บรรจุน้ำมันพืชเต็มปีบ ถ้าแบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง  ถุงละ 0.75 ลิตร จนหมดปีบ จะได้น้ำมันพืชอย่างมากกี่ถุง

วิธีทำ ปีบน้ำมันพืชทรงสี่เหลี่ยมมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 30 เซนติเมตร ปีบสูง 55 เซนติเมตร

เนื่องจาก ปริมาตรของปีบน้ำมันพืช = พื้นที่ฐาน × สูง

=(30×30)×55

49,500 ลูกบาศก์เซนติเมตร

แบ่งน้ำมันพืชใส่ถุง  ถุงละ 0.75 ลิตร  หรือ 0.75×1,000=750      ลูกบาศก์เซนติเมตร  นั่นคือ ได้มันพืชอย่างมาก 49,500÷750=66     ถุง

ตอบ ได้น้ำมันพืชอย่างมาก 66       ถุง ครับ


3. ถ้าอากาศ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก 0.008 กรัม จงหาน้ำหนักของอากาศซึ่งอยู่ในห้องที่ยาว 26 เมตร กว้าง 16.8 และสูง 5.5

วิธีทำ ห้องยาว 26 เมตร กว้าง 16.8 เมตร และสูง 5.5

หรือห้องยาว 2,600 เซนติเมตร กว้าง 1,680 เซนติเมตร และสูง 550 เซนติเมตร

ปริมาตรของอากาศที่อยู่ในห้อง =2,600×1,680×550

=2,402,400,000        ลูกบาศก์เซนติเมตร

เมื่ออากาศ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรหนัก 0.008 กรัม

จะได้น้ำหนักอากาศที่อยู่ในห้องเป็น 2,402,400,000×0.008=19,219,200      กรัม

=19,219.2   กิโลกรัม

ตอบ =19,219.2    กิโลกรัม


4. อ่างเก็บน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 20 เมตร และกว้าง 12 เมตร ถ้าต้องการเก็บน้ำไว้ในอ่าง 1,920 ลูกบาศก์เมตร ระดับน้ำต้องสูงจากก้นอ่างเท่าไร

วิธีทำ  ปริมาตรของอ่างเก็บน้ำ = พื้นที่ฐาน ×    สูง

จะได้   1,920=(20×12)× ความสูง

นั่นคือ น้ำจะสูงจากก้นอ่าง 1,92020×12=8 เมตร

พื้นที่รูปเรขาคณิต

  รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า   คือ รูปสามเหลี่ยม ชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมี ความยาว เท่ากัน ใน เรขาคณิตแบบยุคลิด   รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็น รู...