ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วน หรือ ทศนิยมเป็นส่วนประกอบ

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิดได้แก่ “จำนวนเต็มศูนย์ ” “จำนวนเต็มบวก” และ “จำนวนเต็มลบ”

จำนวนเต็มบวก ได้แก่ จำนวนเต็มที่มาค่ามากกว่า 0 ขึ้นไป ได้แก่ 1,2,3 … ไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนเต็มบวกอาจเรียกได้อีกชื่อว่า “จำนวนนับ”

จำนวนเต็มศูนย์ ได้แก่ 0 (จำไว้ว่า 0 ไม่ใช่จำนวนนับ เนื่องจากจะไม่การกล่าวว่ามีผู้เรียนจำนวน 0 คน แต่ศูนย์ก็ไม่ได้หมายความว่า “ไม่มี” เสมอไป เช่น เมื่อกล่าวถึงอุณหภูมิ เพราะทำให้เราทราบและเกิดความรู้สึกขณะอุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได้)

จำนวนเต็มลบ ได้แก่ จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนเต็มบวกบนเส้นจำนวนเดียวกัน หรือก็คือจำนวนที่ติดลบนั้นเอง ได้แก่ -1,-2,-3… ไปเรื่อยๆ 

พิจารณาจากเส้นจำนวน

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 1 หน่วย ( 1 ช่อง) เขียนแทนด้วย -1 อ่านว่า “ลบหนึ่ง”

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 2 หน่วย ( 2 ช่อง) เขียนแทนด้วย -2 อ่านว่า “ลบสอง”

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 3 หน่วย ( 3 ช่อง) เขียนแทนด้วย -3 อ่านว่า “ลบสาม”

จำนวนบนเส้นจำนวน “จำนวนที่อยู่ซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวาเสมอ”

————————————————————————————————–

จำนวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์

ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a มีเพียงจำนวนเดียว เขียนแทนด้วย –a

a และ -a จะอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทางที่เท่ากัน เท่ากับ a หน่วย

เรียกระยะห่างระหว่าง 0 ถึงจำนวนใดๆบนเส้นจำนวนว่า ค่าสัมบูรณ์ (Absolute) เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย |….| 

ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวกเสมอ เพราะเป็นค่าที่แสดงระยะห่างระหว่าง 0 ถึงจำนวนใดๆ

ดังรูป

 

 ข้อสังเกต เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ

ระยะห่างระหว่าง 0 ถึง a = a และ

ระยะห่างระหว่าง 0 ถึง -a = a เช่นกัน ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของ a และ -a ซึ่งแทนด้วย |a| และ |-a| มีค่าเท่ากับ a

ตัวอย่าง

ค่าสัมบูรณ์ของ 2 เท่ากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ์ |2| = 2

ค่าสัมบูรณ์ของ -2 เท่ากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ์ |-2| = 2
————————————————————————————————–

 การบวกจำนวนเต็ม

1. การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก : วิธีการหาผลบวกโดยการนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น 5 + 3 = 8

พิจารณา

5 และ 3 เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ โดย |5| = 5 และ |3| = 3 ดังนั้น |5| + |3| = 8

พิจารณาการบวกจำนวนเต็มบวกบนเส้นจำนวน

เริ่มต้นจากตำแหน่ง “0” นับไปทางขวา 5 ช่อง (จำนวนเต็มบวกให้นับไปทางขาวของเส้นจำนวน) และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ช่อง จะสิ้นสุดที่ 8

2. การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ : วิธีการหาผลบวกโดยการนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละจำนวนมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างเช่น (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณา

-2 และ -3 เป็นจำนวนเต็มลบทั้งคู่ โดย |-2| = 2 และ |-3| = 3 ดังนั้น |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5 จำนวนเต็มลบของ 5 = -5 ดังนั้น  (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณาการบวกบนจำนวนเต็มลบเส้นจำนวน

เริ่มต้นจากตำแหน่ง “0” นับไปทางซ้าย 2 ช่อง (จำนวนเต็มลบให้นับไปทางซ้ายของเส้นจำนวน) และนับเพิ่มไปทางซ้ายอีก 3 ช่อง จะสิ้นสุดที่ -5

3). การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน สามารถทำได้โดยการนำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวนมาลบกันโดยจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าจะเป็นตัวตั้งเสมอ และคำตอบที่ได้จะยึดเครื่องหมายของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า โดยแบ่งออกเป็น 2 กรณีดังนี้

3.1 กรณีที่จำนวนเต็มบวกมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ
เช่น 12 + (-8)

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก = 12

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ = 8

จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมีค่ามากกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ ดังนั้นจะได้ว่า  12 – 8 = 4

สำหรับเครื่องหมายของคำตอบจะยึดเอาเครื่องหมายของจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าซึ่งจากโจทย์จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือจำนวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบข้อนี้ = +4

หรือพิจารณาในหลักการของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 12 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +12) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 8 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 4

3.2 กรณีที่จำนวนเต็มลบมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก

เช่น 3 + (-12)

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก = 3

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ = 12

จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมีค่ามากกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ ดังนั้นจะได้ว่า  12 – 3 = 9

สำหรับเครื่องหมายของคำตอบจะยึดเอาเครื่องหมายของจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าซึ่งจากโจทย์จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือจำนวนเต็มลบ ดังนั้นคำตอบข้อนี้ = -9

หรือพิจารณาในหลักการของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางซ้าย 12 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มลบ -12) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางขวา 3 ช่อง (สำหรับการบวกด้วยจำนวนเต็มบวก) จะสิ้นสุดที่ -9

4). การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ผลบวกจำเท่ากับศูนย์เสมอ ดังนี้

4 + (-4) = 0

6 + (-6) = 0

45 + (-45) = 0

พิจารณาจากเส้นจำนวน ตัวอย่าง 5 + (-5)

เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 5 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +5) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 5 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 0

————————————————————————————————–

สรุป

1. เครื่องหมายเหมือนกัน => เอาเลขรวมกัน =>ใช้เครื่องหมายเดิม เช่น  1 + 2 = 3 หรือ (-1) + (-2) = -3

2. เครื่องหมายต่างกัน => เอาเลขมากลบเลขน้อย =>ใช้เครื่องหมายของเลขมาก เช่น (-1) + 2 = 1 หรือ 1+ (-2) = -1

————————————————————————————————–

การลบจำนวนเต็ม

ทบทวนจำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
จำนวนตรงข้ามของ 4 คือ -4
จำนวนตรงข้ามของ –6 คือ 6  และ 6 + ( -6 ) = 0
จำนวนตรงข้ามของ -4 เขียนแทนด้วย – ( -4 ) ดังนี้  -(-4) = 4

พิจารณาการลบจำนวนเต็มสองจำนวนที่กำหนดให้ดังนี้
1. 8 – 2
2. 8 – 10
โดยพิจารณาทั้งสองแบบ สำหรับแสดงการหาผลลบของสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยใช้เส้นจำนวน

1. 8 – 2  : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 8 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +8) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 2 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 6

คำตอบคือ 6

2. 8 – 10  : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 8 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +8) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 10 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่-2

คำตอบคือ -2

จากการลบจำนวนเต็มสองจำนวนทั้ง 2 แบบจะเห็นได้ว่า
กำหนด (-b) เป็นจำนวนตรงข้ามของ b
ผลลัพธ์ของ a-b และผลลัพธ์ของ a+(-b) มีค่าเท่ากัน

สรุป
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจำนวนใดๆ
a –b = a + จำนวนตรงข้ามของ b  หรือ a – b = a + (-b)

————————————————————————————————–

การคูณและการหารจำนวนเต็ม

การคูณและการหารจำนวนเต็มมีหลักการในการคูณ/หารของเครื่องหมาย + / – ดังนี้

(+) x (+) = +  และ (+) ÷ (+) = +

กล่าวคือ จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มบวก

(+) x (-) = – และ (+) ÷ (-) = – 

กล่าวคือ จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มลบ และ  จำนวนเต็มบวก ÷จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มลบ 

(-) x (+) = – และ (-) ÷  (+) = –

กล่าวคือ จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มลบ และ  จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มลบ

(-) x (-) = + และ (-) ÷  (-) = +

กล่าวคือ จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มบวก และ  จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มบวก

หรืออาจกล่าวได้ว่า

– เครื่องหมายเหมือนกัน คูณ / หาร กันจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

– เครื่องหมายต่างกัน คูณ / หาร กันจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

การคูณจำนวนเต็ม

 1). การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

เช่น  3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
หรือ 7 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวกนั้น ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

2). การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
เช่น  3 x (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24
หรือ 2 x (-7) = (-7) + (-7) = -14
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

3). การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
เช่น (-7) x 4 = 4 x (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ) = (-7) + (-7)+ (-7) + (-7) = -28

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

4). การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
เช่น (-3) x (-5) = 15 ( -11) x (-20) = 220

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

หารร่วมมาก (ห.ร.ม) คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)

หลังจากบทความก่อนหน้า ในเรื่อง “ตัวประกอบและจำนวนเฉพาะ” ซึ่งเป็นเนื้อหาพื้นฐานเพื่อนำไปสู่เนื้อหาถัดไปในเรื่อง หารร่วมมาก (ห.ร.ม) และ คูณร่วมน้อย (ค.ร.น)  มาเริ่มการเรียนรู้กันเลยครับ

1. การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม และ ค.ร.น ของ  12  18  24

วิธีทำ

ตัวประกอบของ 12 ได้แก่  2 × 2 × 3

ตัวประกอบของ 18 ได้แก่  2 × 3 × 3

ตัวประกอบของ 24 ได้แก่  2 × 2 × 2 × 3

ห.ร.ม ของ 12  18  24  ได้แก่ จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันทั้งหมดของทั้ง 3 จำนวน ดังแสดงด้านล่าง

12 =  2 × 2 × 3

18 =  2 × 3 × 3

24 =  2 × 2 × 2 × 3

จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันของทั้ง 3 จำนวน 2 และ 3 ดั้งนั้น ห.ร.ม ของ 12  18  24 = 2 × 3  = 6

ค.ร.น ของ 12  18  24  ได้แก่ จำนวนเฉพาะที่เหมือนกันบางส่วนของทั้ง 3 จำนวน ดังแสดงด้านล่าง

12 =  2 × 2 × 3

18 =  2 × 3 × 3

24 =  2 × 2 × 2 × 3

เหมือนกันทั้งหมด ได้แก่ 2 และ 3

เหมือนกันสองคู่ ได้แก่ 2

ไม่เหมือนกันเลย ได้แก่ 3 และ 2

ดั้งนั้น ค.ร.น ของ 12  18  24 = 2 × 3 × 2 × 3 × 2 = 72

——————————————————————————————————–

2. การหารสั้น

สำหรับการหา ห.ร.ม ด้วยวิธีการหารสั้น มีหลักที่แตกต่างจากการการ ค.ร.น อยู่ตรงที่

– สำหรับ ห.ร.ม : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารจะต้องสามารถหารทุกจำนวนลงตัว หากไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ห.ร.ม ที่ได้จะเกิดจากการนำ ตัวหารทุกจำนวนมาคูณกัน

– สำหรับ ค.ร.น : จำนวนเฉพาะที่จะนำมาเป็นตัวหารต้องสามารถหารจำนวนเต็มได้ลงตัวอย่างน้อยสองจำนวนขึ้นไป หารไปเรื่อยๆจนไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะใดๆที่หารจำนวนทั้งหมดได้แล้ว การหารสั้นนั้นจะหยุดทันที และ ค.ร.น ที่ได้จะเกิดจากการนำตัวหารทุกจำนวนและเศษทุกจำนวนมาคูณกัน

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม และ ค.ร.น ของ  12  18  24

วิธีหา ห.ร.ม

ตอบ ห.ร.ม = 2 × 3 = 6

วิธีหา ค.ร.น

ตอบ  ค.ร.น = 2 × 3 × 2 × 1 × 3 × 2 = 72

——————————————————————————————————–

3. การหา ห.ร.ม แบบวิธียูคลิด

สำหรับการหา ห.ร.ม ด้วยวิธียูคลิด จะใช้ในกรณีที่ต้องการหา ห.ร.ม สำหรับตัวเลขเยอะๆ เช่น

จงหา ห.ร.ม ของ 1500 และ 2050

ขั้นตอนที่ 1 นำตัวเลขที่มีค่าน้อยหารตัวเลขที่มีค่ามาก ในที่นี้คือ 2050 ÷ 1500 ได้เศษ 550 ดังนี้

      

ขั้นตอนที่ 2 นำเศษที่ได้จากการหารรอบแรกมาหารตัวหารตัวแรก คือ 1500  ÷  550 ได้เศษ 400 ดังนี้

ขั้นตอนที่ 3 ทำเช่นขั้นตอนที่ 2 โดยนำเศษที่ได้จากการหารรอบก่อนหน้ามาหารตัวหารก่อนหน้าเช่นกัน คือ 500  ÷  400 ได้เศษ 400

ขั้นตอนที่ 4  นำเศษที่ได้จากการหารในที่นี้คือ 150 มาหารตัวหารคือ 400 ดังนี้ 400  ÷ 150 ได้เศษ 100

ขั้นตอนที่ 4  นำ 100 มาหาร 150 ดังนี้ 150  ÷ 100 ได้เศษ 50

ขั้นตอนที่ 5  นำ 50 มาหาร 100 ดังนี้ 100  ÷ 50 ได้เศษ 0

เมื่อทำการหารไปเรื่อยๆจนได้เศษ = 0 หรือหารลงตัวนั้นเอง ตัวหารสุดท้ายที่ได้ คือคำตอบของ ห.ร.ม ดังตัวอย่างที่กล่าวมา

ห.ร.ม ของ 1500 และ 2050 = 50

———————————————————————————————————————————

หารลงตัวกับการหารเหลือเศษ

หารลงตัว คือการหารแล้วไม่เหลือเศษ หรือ เศษเป็น 0

เช่น              12 หาร ด้วย 4 ลงตัว

หรือ             เอา 5 ไปหาร 25 ลงตัว

หารไม่ลงตัว คือการหารแล้วเหลือเศษ

เช่น              13 ÷  4  = 3 เศษ 1 ดังนั้น   13 = (4 × 3) + 1

ถ้าอยากให้หารลงตัว เราจะทำได้สองแบบโดย

1. ตัดเศษ 1 ทิ้งไป จะได้ 13 – 1 = 12 จะหาร 4 ลงตัว
2. หาจำนวนมาเพิ่มจากเศษ ให้พอดีกับตัวหาร คือ มีเศษ 1 ต้องการเพิ่มอีก 3 จะได้ครบ 4       ดังนั้น 13 + 3 = 16 จะหาร 4 ลงตัว

ความรู้ในส่วนนี้เราจะใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาประเภทต่างๆดังนี้

การวิเคราะห์โจทย์ปัญหา ห.ร.ม และ ค.ร.น

หลังจากที่เราได้เรียนรู้วิธีการหา ห.ร.ม และ ค.ร.น แล้ว จะเห็นได้ว่า วิธีการหา ห.ร.ม และ ค.ร.น นี้ไม่ได้ยากเลย แต่ความยากอยู่ที่ว่า แล้วโจทย์ปัญหาแบบใหนหละ ที่เราจะต้องใช้วิธีหาแบบ ห.ร.ม หรือ ค.ร.น วันนี้ครูออนไลน์มีคำตอบ

ตัวอย่างที่ 1

โดนัท 9 ชิ้น ขนมปัง 12 ชิ้น เค้ก 6 ชิ้น ถ้าแบ่งใส่จาน จานละเท่ากันโดยไม่ให้ปนกัน จะแบ่งได้จานละกี่ชิ้น และได้กี่จาน

เด็กๆคิดว่าข้อนี้ต้องใช่วิธี ค.ร.น หรือ ห.ร.ม ในการแก้ปัญหา ???

ลองมาวิเคราะห์โจทย์กัน

สำหรับโจทย์ข้อนี้มีจำนวนขนมแต่ละประเภทที่ไม่เท่ากันมาเป็นจำนวนรวมๆ และต้องการแบ่งใส่จาน

น้องๆจะต้องรู้ว่าเมื่อเกิดเหตุการณ์ที่มี “การแบ่ง” เกิดขึ้นจำนวนสิ่งของจะต้องลดน้อยลงไป (แต่ห้ามจำเด็ดขาดว่า แบ่งคือหาร ไม่ได้เลยๆๆๆ)

ให้นึกถึงหลักความเป็นจริงว่าเมื่อเราต้องแบ่งของให้ใคร ของที่อยู่กับเราจะน้อยลงไป เมื่อของน้อยลงไป นั้นคือการหารค่ะ เมื่อเป็นการหารก็คือ การหาแบบ ห.ร.ม นั้นเอง

ตัวอย่างที่ 2 

นายเอและนายบี เริ่มออกวิ่งที่จุดเริ่มต้นเดียวกันรอบสระน้ำวงกลม นายเอวิ่งครบหนึ่งรอบใช้เวลา 3 นาที นายบีวิ่งครบหนึ่งรอบใช้เวลา 5 นาที ถ้าทั้งสองคนออกวิ่งในเวลาเดียวกัน อีกกี่นาทีข้างน้องนายเอและนายบีจะมาพบกันที่จุดเริ่มต้นอีกครั้ง

เด็กๆคิดว่าข้อนี้ต้องใช่วิธี ค.ร.น หรือ ห.ร.ม ในการแก้ปัญหา ???

สำหรับโจทย์ข้อนี้ให้มองตามหลักความเป็นจริงเช่นกัน โดย

– นายเอจะวิ่งครบหนึ่งรอบเมื่อเวลาผ่านไป 3 นาที และรอบที่สองจะครบเมื่อเวลาผ่านไป 6 นาที ไปเรื่อยๆ

– นายเอจะวิ่งครบหนึ่งรอบเมื่อเวลาผ่านไป 5 นาที และรอบที่สองจะครบเมื่อเวลาผ่านไป 10 นาที ไปเรื่อยๆ

แต่ละคนจะวิ่งมาถึงจุดเริ่มต้นด้วยเวลาดังนี้

นายเอ จะมาถึงจุดเริ่มต้นอีกครั้งในนาทีที่    3     6     9     12     15     …..

นายบี จะมาถึงจุดเริ่มต้นอีกครั้งในนาทีที่     5    10    15    20    25    ……

จะเห็นได้ว่า ลักษณะการดำเนินไปของตัวเลขจะเป็นแบบเพิ่มขึ้นไปเรื่อยๆเป็นเท่าตัวของจำนวนเดิม ซึ้งก็คือการคูณ ดังนั้นโจทย์ข้อนี้ต้องใช้วิธีการหาคำตอบด้วยวิธี ค.ร.น

สรุป 

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ห.ร.ม จะมีลักษณะดังนี้

• เรื่องที่เกี่ยวกับการแบ่งของหลายอย่างออกเป็นกองให้เท่าๆกัน
• มีเลขตัวตั้งมาหลายจำนวนแล้วหาจำนวนมาเป็นตัวหารให้หารทั้งหมดลงตัว หรือให้เหลือเศษตามเงื่อนไข
• การแบ่งพื้นที่ กว้าง x ยาว ออกให้เป็น 4 เหลี่ยมจัตุรัส (ด้านกว้างเท่ากับด้านยาว)

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ค.ร.น จะมีลักษณะดังนี้

• มีเลขมาหลายจำนวน ให้หาตัวตั้งที่เลขทั้งหมดหารลงตัว หรือเหลือเศษตามเงื่อนไขที่กำหนดให้
• มีของหลายอย่างซึ่งแต่ละอย่างมีการใช้ไม่เท่ากัน แล้วถามว่าเมื่อไหร่จะเหลือเท่ากันหรือเมื่อไหร่จะพบเจอกันพอดี

————————————————————————————————

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ห.ร.ม

1.  มีนกอยู่ 3 ชนิด โดยแต่ละชนิดมีจำนวนไม่เท่ากันดังนี้ นกชนิดที่หนึ่งมีทั้งหมด 32 ตัว นกชนิดที่สองมีทั้งหมด 48 ตัว และนกชนิดที่สามทีทั้งหมด 64 ตัว ต้องการแบ่งนกให้เด็กๆโดยให้แต่ละคนได้นกมากที่สุดคนละเท่าๆกันและเด็กหนึ่งคนจะได้นกเพียงประเภทเดียวจะสามารถแบ่งนกให้เด็กๆได้กี่คน และคนละกี่ตัว

2. มีผลไม้ 3 ถุง ถุงแรกมีส้ม 24 ผล ถุงที่สองมีสาลี่ 60 ผล และถุงสามมี ลำไย 90 ผล ต้องจัดผลไม้ทั้งสาม ใส่ถาดให้มีจำนวนผลไม้แต่ละชนิดเท่ากัน จะจัดได้กี่ถาด

3. จำนวนนับที่มากที่สุดไปหาร 356, 851 และ 1481 แล้วเหลือเศษเท่ากัน อยากทราบว่าเศษนั้นมีค่าเท่าใด

4. มีลูกอมอยู่ 3 ชนิด คือ ไดนาไมค์ 120 เม็ด ฮอลล์ 150 เม็ด และ โอเล่ 75 เม็ด แบ่งใส่ถุงๆละเท่าๆ กัน โดยไม่ให้แต่ละชนิดปนกัน และไม่เหลือเศษ จะได้กี่ถุง

5. ลวดเส้นหนึ่งยาว 24 เมตร อีกเส้นหนึ่งยาว42เมตรนําลวดทั้งสองเส้นมาแบ่งเป็นท่อนๆให้ยาวเท่าๆกันโดยให้แต่ละท่อนยาวที่สุดจะแบ่งได้ทั้งหมดกี่ท่อน

6. มีโบว์สีแดงยาว 24 เมตร สีขาวยาว 36 เมตร สีเขียวยาว 72 เมตร ต้องการตัดเป็นเส้นเส้นละเท่าๆกันให้แต่ละเส้นมีขนาดยาวที่สุดและไม่ให้เหลือเศษเลย โบว์แต่ละเส้นจะยาวเท่าไร

7. ร้านเสื้อผ้าแห่งหนึ่ง มีเสื้อสีแดงทั้งหมด 120 ตัว เสื้อสีขาว 300 ตัว และเสื้อสีฟ้า 150 ตัว ร้านแห่งนี้ต้องการจัดเสื้อเข้าชุดเพื่อจำหน่ายเป็นชุดของขวัญโดยแต่ละกล่องมีจำนวนเสื้อเท่ากันและแต่ละกล่องจะมีเสื้อเพียงสีเดียวเท่านั้นเมื่อจัดเสร็จแล้วไม่ต้องการให้มีเศษเหลือ หากร้านค้าจัดจำหน่ายชุดของขวัญในราคากล่องละ 450 บาทเมื่อร้านค้าขายชุดของขวัญจนหมดทางร้านจะได้เงินทั้งหมดกี่บาท

ตัวอย่างโจทย์ประเภท ค.ร.น

1. มะม่วงผลละ 8 บาท มะพร้าวผลละ 6 บาท และแตงโมผลละ 9 บาท ถ้าต้องจ่ายเงิน ซื้อผลไม้ ทุกชนิด ราคาเท่ากัน และจ่ายเงินน้อยที่สุด แล้วจะซื้อผลไม้ได้ทั้งหมดกี่ผล

2. บริษัทแห่งหนึ่งทำงาน 8 วันแล้วจะหยุดงาน 2 วัน ถ้าวันหยุด 2 วันนี้เป็นวัน เสาร์-อาทิตย์ อยากทราบว่าครั้งต่อไปที่พนักงานจะได้หยุดเป็นวันเสาร์-อาทิตย์อีกครั้งจะเป็นอีกกี่สัปดาห์ข้างหน้า

3. มีเด็กจำนวนน้อยที่สุดกี่คน เมื่อจัดเป็น 24 แถว หรือ 32 แถว หรือ 56 แถวแล้วจัดได้ลงตัวพอดี

4. นาฬิกา 3 เรือน แต่ละเรือนจะร้องเตือนเวลาดังนี้ เรื่อนที่ 1 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 65 นาที เรือนที่ 2 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 15 นาที และเรื่อนที่ 3 จะร้องบอกเวลาทุกๆ 39 นาที ถ้านาฬิกาทั้งสามร้องบอกเวลาพร้อมกันครั้งแรกเมื่อเวลา 15.35น. แล้ว นาฬิกาทั้งสามเรือนจะร้องบอกเวลาพร้อมกันอีกครั้งเมื่อเวลาใด

5. กระเบื้องปูพื้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แผ่นเล็กมีขนาดยาวด้านละ 20 เซนติเมตร แผ่นใหญ่มีขนาดยาวด้านละ 25 เซนติเมตร ถ้าใช้กระเบื้องทั้งสองขนาดนี้ปูพื้นให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้มีพื้นที่น้อยที่สุดจะต้องใช้กระเบื้องทั้งสองขนาดอย่างละกี่แผ่น

6. คุณพ่อติดไฟกระพริบ 2 ดวง ดวงแรกกระพริบทุกๆ 30 วินาที ดวงที่สองกระพริบทุกๆ 36 วินาที ถ้าไฟสองดวงกระพริบพร้อมกันครั้งแรกตอน 10.45 น. ถามว่าไฟทั้งสองจะกระพริบพร้อมกันครั้งที่ 10 ในเวลาใด