ระบบจำนวนเต็ม

ระบบจำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วน หรือ ทศนิยมเป็นส่วนประกอบ

จำนวนเต็มแบ่งออกเป็น 3 ชนิดได้แก่ “จำนวนเต็มศูนย์ ” “จำนวนเต็มบวก” และ “จำนวนเต็มลบ”

จำนวนเต็มบวก ได้แก่ จำนวนเต็มที่มาค่ามากกว่า 0 ขึ้นไป ได้แก่ 1,2,3 … ไปเรื่อยๆ ไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนเต็มบวกอาจเรียกได้อีกชื่อว่า “จำนวนนับ”

จำนวนเต็มศูนย์ ได้แก่ 0 (จำไว้ว่า 0 ไม่ใช่จำนวนนับ เนื่องจากจะไม่การกล่าวว่ามีผู้เรียนจำนวน 0 คน แต่ศูนย์ก็ไม่ได้หมายความว่า “ไม่มี” เสมอไป เช่น เมื่อกล่าวถึงอุณหภูมิ เพราะทำให้เราทราบและเกิดความรู้สึกขณะอุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสได้)

จำนวนเต็มลบ ได้แก่ จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนเต็มบวกบนเส้นจำนวนเดียวกัน หรือก็คือจำนวนที่ติดลบนั้นเอง ได้แก่ -1,-2,-3… ไปเรื่อยๆ 

พิจารณาจากเส้นจำนวน

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 1 หน่วย ( 1 ช่อง) เขียนแทนด้วย -1 อ่านว่า “ลบหนึ่ง”

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 2 หน่วย ( 2 ช่อง) เขียนแทนด้วย -2 อ่านว่า “ลบสอง”

– จำนวนที่อยู่ทางซ้ายของ 0 เป็นระยะทาง 3 หน่วย ( 3 ช่อง) เขียนแทนด้วย -3 อ่านว่า “ลบสาม”

จำนวนบนเส้นจำนวน “จำนวนที่อยู่ซ้ายมือจะมีค่าน้อยกว่าจำนวนที่อยู่ทางขวาเสมอ”

————————————————————————————————–

จำนวนตรงข้ามและค่าสัมบูรณ์

ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a มีเพียงจำนวนเดียว เขียนแทนด้วย –a

a และ -a จะอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะทางที่เท่ากัน เท่ากับ a หน่วย

เรียกระยะห่างระหว่าง 0 ถึงจำนวนใดๆบนเส้นจำนวนว่า ค่าสัมบูรณ์ (Absolute) เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย |….| 

ดังนั้นค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวกเสมอ เพราะเป็นค่าที่แสดงระยะห่างระหว่าง 0 ถึงจำนวนใดๆ

ดังรูป

 

 ข้อสังเกต เมื่อ a แทนจำนวนใดๆ

ระยะห่างระหว่าง 0 ถึง a = a และ

ระยะห่างระหว่าง 0 ถึง -a = a เช่นกัน ดังนั้นค่าสัมบูรณ์ของ a และ -a ซึ่งแทนด้วย |a| และ |-a| มีค่าเท่ากับ a

ตัวอย่าง

ค่าสัมบูรณ์ของ 2 เท่ากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ์ |2| = 2

ค่าสัมบูรณ์ของ -2 เท่ากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ์ |-2| = 2
————————————————————————————————–

 การบวกจำนวนเต็ม

1. การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก : วิธีการหาผลบวกโดยการนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างเช่น 5 + 3 = 8

พิจารณา

5 และ 3 เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ โดย |5| = 5 และ |3| = 3 ดังนั้น |5| + |3| = 8

พิจารณาการบวกจำนวนเต็มบวกบนเส้นจำนวน

เริ่มต้นจากตำแหน่ง “0” นับไปทางขวา 5 ช่อง (จำนวนเต็มบวกให้นับไปทางขาวของเส้นจำนวน) และนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ช่อง จะสิ้นสุดที่ 8

2. การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ : วิธีการหาผลบวกโดยการนำค่าสัมบูรณ์ของแต่ละจำนวนมาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างเช่น (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณา

-2 และ -3 เป็นจำนวนเต็มลบทั้งคู่ โดย |-2| = 2 และ |-3| = 3 ดังนั้น |-2| + |-3| = 2 + 3 = 5 จำนวนเต็มลบของ 5 = -5 ดังนั้น  (-2) + (-3) = (-5)

พิจารณาการบวกบนจำนวนเต็มลบเส้นจำนวน

เริ่มต้นจากตำแหน่ง “0” นับไปทางซ้าย 2 ช่อง (จำนวนเต็มลบให้นับไปทางซ้ายของเส้นจำนวน) และนับเพิ่มไปทางซ้ายอีก 3 ช่อง จะสิ้นสุดที่ -5

3). การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน สามารถทำได้โดยการนำค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองจำนวนมาลบกันโดยจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าจะเป็นตัวตั้งเสมอ และคำตอบที่ได้จะยึดเครื่องหมายของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่า โดยแบ่งออกเป็น 2 กรณีดังนี้

3.1 กรณีที่จำนวนเต็มบวกมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ
เช่น 12 + (-8)

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก = 12

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ = 8

จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมีค่ามากกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ ดังนั้นจะได้ว่า  12 – 8 = 4

สำหรับเครื่องหมายของคำตอบจะยึดเอาเครื่องหมายของจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าซึ่งจากโจทย์จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือจำนวนเต็มบวก ดังนั้นคำตอบข้อนี้ = +4

หรือพิจารณาในหลักการของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 12 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +12) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 8 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 4

3.2 กรณีที่จำนวนเต็มลบมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ให้นำค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบมาลบด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก

เช่น 3 + (-12)

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวก = 3

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ = 12

จะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มบวกมีค่ามากกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบ ดังนั้นจะได้ว่า  12 – 3 = 9

สำหรับเครื่องหมายของคำตอบจะยึดเอาเครื่องหมายของจำนวนเต็มที่มีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าซึ่งจากโจทย์จำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าคือจำนวนเต็มลบ ดังนั้นคำตอบข้อนี้ = -9

หรือพิจารณาในหลักการของเส้นจำนวน

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ : เริ่มนับจาก “0” ไปทางซ้าย 12 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มลบ -12) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางขวา 3 ช่อง (สำหรับการบวกด้วยจำนวนเต็มบวก) จะสิ้นสุดที่ -9

4). การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน ผลบวกจำเท่ากับศูนย์เสมอ ดังนี้

4 + (-4) = 0

6 + (-6) = 0

45 + (-45) = 0

พิจารณาจากเส้นจำนวน ตัวอย่าง 5 + (-5)

เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 5 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +5) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 5 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 0

————————————————————————————————–

สรุป

1. เครื่องหมายเหมือนกัน => เอาเลขรวมกัน =>ใช้เครื่องหมายเดิม เช่น  1 + 2 = 3 หรือ (-1) + (-2) = -3

2. เครื่องหมายต่างกัน => เอาเลขมากลบเลขน้อย =>ใช้เครื่องหมายของเลขมาก เช่น (-1) + 2 = 1 หรือ 1+ (-2) = -1

————————————————————————————————–

การลบจำนวนเต็ม

ทบทวนจำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
จำนวนตรงข้ามของ 4 คือ -4
จำนวนตรงข้ามของ –6 คือ 6  และ 6 + ( -6 ) = 0
จำนวนตรงข้ามของ -4 เขียนแทนด้วย – ( -4 ) ดังนี้  -(-4) = 4

พิจารณาการลบจำนวนเต็มสองจำนวนที่กำหนดให้ดังนี้
1. 8 – 2
2. 8 – 10
โดยพิจารณาทั้งสองแบบ สำหรับแสดงการหาผลลบของสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยใช้เส้นจำนวน

1. 8 – 2  : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 8 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +8) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 2 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่ 6

คำตอบคือ 6

2. 8 – 10  : เริ่มนับจาก “0” ไปทางขวา 8 ช่อง (สำหรับจำนวนเต็มบวก +8) จากนั้นนับย้อยกลับมาทางซ้าย 10 ช่อง (สำหรับการบวกจำนวนเต็มลบ) จะสิ้นสุดที่-2

คำตอบคือ -2

จากการลบจำนวนเต็มสองจำนวนทั้ง 2 แบบจะเห็นได้ว่า
กำหนด (-b) เป็นจำนวนตรงข้ามของ b
ผลลัพธ์ของ a-b และผลลัพธ์ของ a+(-b) มีค่าเท่ากัน

สรุป
ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจำนวนใดๆ
a –b = a + จำนวนตรงข้ามของ b  หรือ a – b = a + (-b)

————————————————————————————————–

การคูณและการหารจำนวนเต็ม

การคูณและการหารจำนวนเต็มมีหลักการในการคูณ/หารของเครื่องหมาย + / – ดังนี้

(+) x (+) = +  และ (+) ÷ (+) = +

กล่าวคือ จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มบวก และ จำนวนเต็มบวก ÷ จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มบวก

(+) x (-) = – และ (+) ÷ (-) = – 

กล่าวคือ จำนวนเต็มบวก x จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มลบ และ  จำนวนเต็มบวก ÷จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มลบ 

(-) x (+) = – และ (-) ÷  (+) = –

กล่าวคือ จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มลบ และ  จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มบวก  = จำนวนเต็มลบ

(-) x (-) = + และ (-) ÷  (-) = +

กล่าวคือ จำนวนเต็มลบ x จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มบวก และ  จำนวนเต็มลบ ÷ จำนวนเต็มลบ  = จำนวนเต็มบวก

หรืออาจกล่าวได้ว่า

– เครื่องหมายเหมือนกัน คูณ / หาร กันจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

– เครื่องหมายต่างกัน คูณ / หาร กันจะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

การคูณจำนวนเต็ม

 1). การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

เช่น  3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
หรือ 7 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวกนั้น ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

2). การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
เช่น  3 x (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24
หรือ 2 x (-7) = (-7) + (-7) = -14
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

3). การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
เช่น (-7) x 4 = 4 x (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ) = (-7) + (-7)+ (-7) + (-7) = -28

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

4). การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
เช่น (-3) x (-5) = 15 ( -11) x (-20) = 220

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น