พื้นที่รูปเรขาคณิต

 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสามเหลี่ยมชนิดหนึ่งที่ด้านทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ในเรขาคณิตแบบยุคลิด รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า (equiangular polygon) กล่าวคือ มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากันคือ 60° ด้วยคุณสมบัติทั้งสอง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงจัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปรกติ (regular polygon) และเรียกอีกชื่อหนึ่งได้ว่าเป็น รูปสามเหลี่ยมปรกติ

                                                                

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ ${\displaystyle a\,\!}$ หน่วย จะมีส่วนสูง (altitude) เท่ากับ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$ หน่วย และมีพื้นที่เท่ากับ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ ตารางหน่วย

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

                                              

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|{AC}\times {BD}|}$

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น ^[3]

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta }$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}pq}$ เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) ^[4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(\gamma +\lambda )]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {\gamma +\lambda }{2}}\right)\right]}}\\s&={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\\\end{aligned}}}$

เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin \gamma +{\frac {1}{2}}ad\cdot \sin \lambda }$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

${\displaystyle Area={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin \gamma }$

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle ab\cdot \sin \gamma }$

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ ${\displaystyle pq=ac+bd}$

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° ^[6]

${\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|}$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

${\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}$

รูปห้าเหลี่ยม

รูปห้าเหลี่ยม (อังกฤษ: pentagon) คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้าน 5 ด้าน

รูปห้าเหลี่ยมปกติที่ด้านแต่ละด้านยาว a จะมีพื้นที่เท่ากับ 

รูปดาวห้าแฉก (pentagram) สามารถสร้างจากรูปห้าเหลี่ยมปกติได้ โดยการลากเส้นตามเส้นทแยงมุม และรูปนี้จะมีความยาวที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง, φ = (1+√5)/
2

                                

${\displaystyle A={\frac {5a^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\simeq 1.72048a^{2}}$

รูปห้าเหลี่ยมปกติ (regular pentagon) คือ รูปห้าเหลี่ยมที่ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากัน (540° คือมุมภายในของรูป)

รูปหกเหลี่ยม

ตามทฤษดีเเล้วในทางเรขาคณิต รูปหกเหลี่ยม หมายถึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบหนึ่ง ที่มีด้าน 6 ด้าน และจุดยอด 6 จุด สัญลักษณ์ชเลฟลี (Schläfli symbol) คือ {6}

มุมภายในของหกเหลี่ยมปกติ หรือหกเหลี่ยมด้านเท่า (มีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน และขนาดมุมเท่ากันทุกมุม) เท่ากับ 120 ° รูปหกเหลี่ยมด้านเท่าก็เหมือนกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และสามเหลี่ยมด้านเท่า ที่สามารถวางเรียงในแนวระนาบต่อกันไปโดยไม่มีช่องว่าง (รูปหกเหลี่ยม 3 รูปจะบรรจบกัน (หกเหลี่ยม 3 รูปสามบรรจบกัน 3 มุมยอด) และมีประโยชน์มากสำหรับการสร้าง เทสเซลเลชัน (การวางรูปซ้ำ ๆ ต่อกันจนเต็มพื้นที่ โดยไม่ซ้อนทับ หรือมีช่องว่าง)

ช่องรังผึ้งช่องหนึ่งเป็นรูปหกเหลี่ยมด้วยเหตุผลดังกล่าวนี้ และเนื่องจากรูปทรงนี้ทำให้สามารถใช้วัสดุการสร้างและพื้นที่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ สำหรับ Voronoi diagram ของตาข่ายสามเหลี่ยมด้านเท่า เป็นเทสเซลเลชั่นรังผึ้งของหกเหลี่ยมนั่นเอง

พื้นที่ของหกเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีความยาวด้าน ${\displaystyle a\,\!}$ มีค่า

${\displaystyle A={\frac {6}{2}}a^{2}\cos {\frac {\pi }{6}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\simeq 2.59808a^{2}}$

เส้นรอบรูป หรือความยาวรอบรูปหกเหลี่ยม ที่มีความยาวด้านละ ${\displaystyle a\,\!}$ หน่วย มีค่าเท่ากับ ${\displaystyle 6a\,\!}$ และมีเส้นผ่าศูนย์กลางยาวสุด ${\displaystyle 2a\,\!}$ เส้นผ่าศูนย์กลางสั้นสุด ${\displaystyle {\sqrt {3}}a\,\!}$

                            

ขอขอบคุณ https://th.wikipedia.org/wiki/