sealtum's blog: สิงหาคม 2020

จากนิยามของทฤษฎีบทเศษเหลือที่ว่า เมื่อพหุนาม $P(x)$ หารด้วยพหุนาม $x-c$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ เศษที่ได้จะเท่ากับ $P(c)$ ทำให้เราทราบว่าเมื่อ $P(c) = 0$ จะทำให้ $x-c$ เป็นตัวประกอบหนึ่งของ $P(x)$ นั่นคือ

……. “พหุนาม $P(x)$ จะมี $x-c$ เป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็่ต่อเมื่อ $P(c) =0$ ”
…….ข้อความนี้มีชื่อเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานำทฤษฎีบทดังกล่าวมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ ได้ โดยการสุ่มหาค่า $k$ ที่ทำให้ $P(k) = 0$ พอดี เพื่อให้ทราบว่ามีตัวประกอบหนึ่งเป็น $x-k$ และจากนั้นก็นำ $x-k$ ที่ได้นี้ ไปหารออกจาก $P(x)$ เพื่อลดทอนกำลังลง และทำซ้ำจนกระทั่งแยกตัวประกอบได้ครบถ้วน

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม $P(x) = 8x^3-6x^2-17x-6$
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร $6$ ได้ลงตัว ได้แก่ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
………… $P(2) = 8(2)^3-6(2)^2-17(2)-6 = 64-24-34-6 = 0$
…………นั่นคือ $x-2$ เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ $P(x)$
…………จะได้ … $\frac{P(x)}{x-2} = 8x^2+10x+3$
…………………. $P(x) = (x-2)(8x^2+10x+3)$
…………………. $P(x) = (x-2)(2x+1)(4x+3)$
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ … $8x^3-6x^2-17x-6 = (x-2)(2x+1)(4x+3)$

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม $P(x) = 6x^3+x^2-19x+6$
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร $6$ ได้ลงตัว ได้แก่ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
………… $P(-2) = 6(-2)^3+(-2)^2-19(-2)+6 = -48+4+38+6 = 0$
…………นั่นคือ $x+2$ เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ $P(x)$
…………จะได้ … $\frac{P(x)}{x+2} = 6x^2-11x+3$
…………………. $P(x) = (x+2)(6x^2-11x+3)$
…………………. $P(x) = (x+2)(3x-1)(2x-3)$
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ … $6x^3+x^2-19x+6 = (x+2)(3x-1)(2x-3)$

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม $P(x) = 4x^3-20x^2+29x-10$
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร $10$ ได้ลงตัว ได้แก่ $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$
………… $P(2) = 4(2)^3-20(2)^2+29(2)-10 = 32-80+58-10 = 0$
…………นั่นคือ $x-2$ เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ $P(x)$
…………จะได้ … $\frac{P(x)}{x-2} = 4x^2-12x+5$
…………………. $P(x) = (x-2)(4x^2-12x+5)$
…………………. $P(x) = (x-2)(2x-5)(2x-1)$
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ … $4x^3-20x^2+29x-10 = (x-2)(2x-5)(2x-1)$

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ $P(x) = x^4-3x^3+4x^2-6x+4$ …….(สมาคม 56)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร $4$ ได้ลงตัว ได้แก่ $\pm 1, \pm 2, \pm 4$
………… $P(1) = (1)^4-3(1)^3+4(1)^2-6(1)+4 = 1-3+4-6+4 = 0$
………… $P(2) = (2)^4-3(2)^3+4(2)^2-6(2)+4 = 16-24+16-12+4 = 0$
…………นั่นคือ $x-1$ และ $x-2$ เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ $P(x)$ โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้ … $\frac{P(x)}{(x-1)(x-2)} = x^2+2$
…………………. $P(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2)$
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ … $x^4-3x^3+4x^2-6x+4 = (x-1)(x-2)(x^2+2)$

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ $P(x) = 2x^4-5x^3-24x^2-7x+10$ …….(สมาคม 54)
วิธีทำ…..จำนวนเต็มที่หาร $10$ ได้ลงตัว ได้แก่ $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$
………… $P(-1) = 2(-1)^4-5(-1)^3-24(-1)^2-7(-1)+10 = 2+5-24+7+10 = 0$
………… $P(-2) = 2(-2)^4-5(-2)^3-24(-2)^2-7(-2)+10 = 32+40-96+14+10 = 0$
…………นั่นคือ $x+1$ และ $x+2$ เป็นตัวประกอบจำนวนนึ่งของ $P(x)$ โดยการหารสังเคราะห์
…………จะได้ … $\frac{P(x)}{(x+1)(x+2)} = 2x^2-11x+5$
…………………. $P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)$
…………ดังนั้น แยกตัวประกอบของ … $P(x) = (x+1)(x+2)(x-5)(2x-1)$

…….เป็นอย่างไรบ้างครับเกี่ยวกับใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3 พอจะเข้าใจกันบ้างไหมครับ ถ้ายังไม่เข้าใจลองศึกษาจากคลิปวิดีโอด้านล่างนี้ต่อเลยนะครับ

sealtum's blog

วันพุธที่ 26 สิงหาคม พ.ศ. 2563

การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ

พื้นที่รูปเรขาคณิต

ค้นหาบล็อกนี้