ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิตแบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้
ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้ ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง[1]
- (อาจแทนด้วยตัวแปรอื่นเช่น x, y, z, ก, ข, ค)
โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบทและการพิสูจน์[2][3] แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับให้มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์[4][5]
ทฤษฎีบทดังกล่าวเกี่ยวข้องกับทั้งพื้นที่และความยาว ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถสรุปได้หลายวิธี รวมทั้งปริภูมิมิติที่สูงขึ้น ไปจนถึงปริภูมิที่มิใช่แบบยูคลิด ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก และอันที่จริงแล้ว ไปจนถึงวัตถุที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมเลยก็มี แต่เป็นทรงตัน n มิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดึงดูดความสนใจจากนักคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ของความยากจะเข้าใจในคณิตศาสตร์ ความขลังหรือพลังปัญญา มีการอ้างถึงในวัฒนธรรมสมัยนิยมมากมายทั้งในวรรณกรรม ละคร ละครเพลง เพลง สแตมป์และการ์ตูน
รูปอื่น
ตามที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น หาก c แทนความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b แทนความยาวของอีกสองด้านที่ประกบมุมฉาก ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะสามารถเขียนในรูปสมการพีทาโกรัสได้ดังนี้
หรือ
ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และด้านประชิดมุมฉากด้านใดด้านหนึ่ง (a หรือ b) แล้ว ความยาวด้านที่เหลือสามารถคำนวณได้ดังนี้
หรือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกำหนดความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างง่าย เพื่อที่ว่าถ้าทราบความยาวของด้านสองด้าน ก็จะสามารถหาความยาวของด้านที่เหลือได้ อีกบทแทรกหนึ่งของทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าสองด้านที่เหลือ แต่สั้นกว่าผลรวมของทั้งสอง
ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถกล่าวโดยสรุปได้เป็นกฎของโคซายน์ ซึ่งเมื่อให้ความยาวของด้านทั้งสองและขนาดของมุมระหว่างด้านนั้นมา จะสามารถคำนวณหาความยาวด้านที่สามของสามเหลี่ยมใด ๆ ได้ ถ้ามุมระหว่างด้านเป็นมุมฉาก กฎของโคซายน์จะย่อลงเหลือทฤษฎีบทพีทาโกรัส
การพิสูจน์
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น หนังสือ The Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370 แบบ[6]
ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้ |
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นเป็นจริง โดยกล่าวไว้ดังนี้[7]
กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ จะมีสามเหลื่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาวด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b
ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°
บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของ ยุคลิดด้วย[8]
ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบนด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยมแล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก
บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้
กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a,b และ c และ เราจะต้องพิสูจน์ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลื่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบมุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลื่ยมรูปที่สองก็จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่ากันทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มาประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย
จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม
- ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
- ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม
- ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน
กุญแจคณิตศาสตร์ แบบฝึกหัดที่ 1.1 สมบัติของสามเหลี่ยมมุมฉาก
แบบฝึกหัดทฤษฎีบทพีทาโกลัส
| 1. จำนวนที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้นักเรียนหาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก |
จากโจทย์ กำหนดให้ด้านประกอบมุมฉาก ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกลัส มาพิจารณา คือด้าน a และ b ดังนั้น c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังรูป ดังนั้น จะได้ c2 = a2 + b2 นำไปใช้ในแบบฝึกหัดนี้ | |
1) 9,2 c2 = a2 + b2 c2 = 92 + 22 c2 = 81 + 4 = 85
| |
2) 11 , 60 c2 = a2 + b2 c2 = 112 + 602 c2 = 121 + 3600 = 3,721
| |
3) 20 , 21 c2 = 202 + 212 c2 = 400 + 441 = 841
| |
4) 0.8 , 1.5 c2 = 0.82 + 1.52 c2 = 0.64 + 2.25 = 2.89
| |
5) 0.5 , 1.2 c2 = 0.52 + 1.22 c2 = 0.25 + 1.44 = 1.69
| |
6)
c2 = 2.42 + 72 c2 = 5.76 + 49 = 54.76
| |
2. สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่กำหนดให้ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ตัวเลขที่กำกับ ด้านที่แสดงความยาว ของด้านจงหาความยาวของด้านที่เหลือ | |
1) 202 = 122 + b2 202 - 122 = b2 400 - 144 = b2 256 = b2
| |
2) c2 = 72 + 242 c2 = 49 + 576 = 625
| |
3) c2 = 0.32· + 0.42 c2 = 0.09 + 0.16 = 0.25
| |
4) c2 = a2· + b2 2.92 = a2· + 2.12 a2 = 2.92 - 2.12 a2 = 8.41 - 4.41 a2 = 4
| |
3. สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่กำหนดให้ ในแต่ละข้อต่อไปนี้ ตัวเลขที่กำกับด้านที่แสดงความยาว ของด้านจงหาความยาวรอบรูป | |
1) 152 = 122 + b2 152 - 122 = b2 b2 = 225 - 144 = 81
ดังนั้นเส้นรอบรูป ของสามเหลี่ยม = 12 + 15 + 9 = 36
| |
2) 612 = 112 + b2 b2 = 612 - 112 b2 = 3721 - 121 = 3600
ดังนั้นเส้นรอบรูป ของสามเหลี่ยม = 11 + 60 + 61 = 132
| |
3) 3.92 = 1.52 + b2 b2 = 3.92 - 1.52 b2 = 15.21 - 2.25
ดังนั้นเส้นรอบรูป ของสามเหลี่ยม = 3.6 + 1.5 + 3.9 = 9
| |
4) c2 = 3.62· + 2.72 c2 = 12.96 + 7.29 = 20.25
ดังนั้นเส้นรอบรูป ของสามเหลี่ยม = 3.6 + 2.7 + 4.5 = 10.8 |
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น